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Il Gioco di Rawls

April 20th, 2012 by Leonardo

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di Leonardo, IHC

 

Ho già parlato di Rawls e della sua soluzione Neocontrattualista (qui), ed ho fatto cenno ad uno scampolo di Teoria dei Giochi come forma possibile di trattamento del suo egualitarismo.

Per puro amore della forma (vezzo che mi rende inviso a moltissimi austro-ortodossi) provo a dare un trattamento matematico-formale a tutta questa faccenda.

 

Poniamo una società costituita da n individui, titolari ciascuno di una frazione αi (pedice che indica un generico individuo i-esimo) della ricchezza (ma si potrebbe ragionare anche in termini di reddito) totale K che, attorno al momento in cui l’analisi viene svolta, può essere agevolmente considerata costante. Ipotesi essenziale è che nessuno sa quale frazione αi  della ricchezza complessiva possieda perché in questo momento agisce dietro al Velo dell’Ignoranza supposto da Rawls; al massimo il singolo può farsi su αi una sua aspettativa Ei [αi ] dipendente dalle informazioni che possiede, ma dietro al Velo dell’Ignoranza tutti hanno le stesse informazioni (cioè nessuna) per cui l’aspettativa è per tutti generalizzabile in E[αi ]. La statistica ci dice che in questa situazione la best guess (miglior stima a priori in condizioni di incertezza stocastica, ovvero miglior “tirata a caso”) è la media della stessa variabile, cioè

 

1) ᾱ=K/n

2) E[αi ]=ᾱ

 

L’individuo i, ignorante della propria posizione nella società, sa che in un momento successivo scoprirà quale è la propria αi , e viene posto davanti a due alternative: accettare passivamente la rivelata αi  oppure anticipare l’evento chiedendo la stipula di un certo Contratto Sociale che gli permetterà di correggere verso l’alto la propria αi verso la media seppur al costo di sopportare una riduzione della propria αi nel caso questa sia superiore ad . Ponendo che il Contratto Sociale stabilisca che ad ognuno venga semplicemente riconosciuto un trasferimento pari a

 

3) (αi)/2

 

Questo significa che la distanza della propria quota di ricchezza dalla media verrà dimezzata, in diminuzione se αi > e in aumento se αi <. La scelta è quindi tra una accettazione dello status quo e quindi della propria αi  (strategia S) e una soluzione rawlsiana di Contratto Sociale (strategia R) dove la ricchezza detenuta sarà (ᾱ–αi)/2+αi=(ᾱ+αi)/2. Le alternative sono quindi

 

4)

 

S = αi

 

R = (ᾱ+ αi)/2

 

A questo punto entra la supposizione di universale risk aversion di Rawls. Per formalizzarla ragioniamo in termini dell’utilità ottenuta dalla ricchezza a propria disposizione in considerazione che questa sia più o meno certa (quindi trattando diversamente il caso che la quota αi  sia conosciuta da quello in cui si possa solo considerarne il valore atteso E[αi ]), considerando anche – per facilitare i calcoli – che il valore di questa utilità sia pari al valore della ricchezza stessa quando questa è certa. In generale l’utilità è definita in modo che, considerando una certa variabile y con media ӯ, U(y)=y quando y è certo e conosciuto, e U(E[y])<U(ӯ).

Con queste poche ipotesi si può ricavare che Ui (E[αi ])=Ui (E[αi /2])+Ui (E[αi /2])<Ui (E[αi /2])+Ui (ᾱ /2)=Ui (E[(ᾱ+αi)/2]) cioè, in breve

 

5) Ui (E[αi ])<Ui (E[(ᾱ+αi)/2])

 

Questo significa che la strategia R verrebbe da tutti preferita alla strategia S.

Per rappresentare il gioco che porta all’accordo “sociale” quindi possiamo considerare che ex ante l’accordo su R sia valutato con una utilità ad esempio pari a 10, che l’accordo su S sia valutato con utilità ad esempio pari a 2, e dallo scontro tra posizioni diverse possa emergere una qualche soluzione “ibrida” valutabile con una utilità intermedia ad esempio pari a 3. Distinguendo due gruppi di giocatori, e data comunque la supposizione di universale risk aversion di Rawls, si ha la rappresentazione in “forma normale (Gioco n.1):

 

Gioco n.1

 

 

 

 

 

 

2

R

S

 

 

1

 

 

 

R

 

5

 

3

 

 

5

 

3

 

 

 

 

S

 

3

 

2

 

 

3

 

2

 

 

 

Chiaramente, sia che i due gruppi decidano contestualmente che in successione, entrambi proporranno la soluzione R (se uno sceglie S la risposta migliore dell’altro è R – utilità 3 – e se sceglie R la risposta migliore resta R – utilità 5); la coppia R,R – cioè l’adozione del Contratto Sociale di Rawls – è quindi un equilibrio stabile (in termini tecnici: equilibrio di Nash).

Fatta questa scelta, se ne devono calcolare le conseguenze, in quanto adesso la soluzione (ᾱ+αi)/2 è valida per tutti gli individui, e in particolare (ᾱ+αi)/2=(ᾱ+αj)/2 per ogni ij da cui segue αij per ogni ij e quindi

 

6) αij*

 

Considerando che il totale della ricchezza resta K dovrà valere Σi (ᾱ+αi)/2=K che comporta alla fine

 

7) α*=ᾱ

 

che appunto è la soluzione egualitarista di Rawls. Questo è il meccanismo del Beauty Contest di Keynes: se l’obiettivo condiviso è di ridurre la distanza dalla media, tutti si concentreranno sulla media stessa.

 

Se però considerassimo che il gruppo n.2 fosse formato da individui con una diversa avversione al rischio il risultato può cambiare. Se ad esempio questo gruppo fosse del tipo “imprenditore”, con una certa propensione al rischio, i cui individui valutino positivamente la possibilità di scoprire di possedere (o perseguire) una αi superiore alla media, per loro varrà

 

8) Ui (E[αi ])>Ui (E[(ᾱ+αi)/2])

 

Pertanto possiamo rappresentare un nuovo gioco (Gioco n.2) in cui per il gruppo n.2 alla strategia S viene attribuita una utilità 5 e alla strategia R utilità 2.

 

Gioco n.2

 

 

 

 

 

 

2

R

S

 

 

1

 

 

 

R

 

2

 

3

 

 

5

 

3

 

 

 

 

S

 

3

 

5

 

 

3

 

2

 

 

 

In questo caso per il gruppo n.1 domina la strategia R e per il gruppo n.2 la strategia S perciò la società troverà accordo su una soluzione ibrida (associata alla coppia R,S che qui è il nuovo equilibrio di Nash), che benché caratterizzata da qualche correttivo rispetto all’accettazione passiva dello status quo che verrà poi rivelato non è più assolutamente la soluzione egualitarista estrema ipotizzata da Rawls.

 


3 Responses to “Il Gioco di Rawls”

  1. 1

    Vincenzo Says

    Restando alla teoria dei giochi il famoso dilemma del prigioniero dimostra che una scelta fatta solo individualmente produce per tutti una soluzione peggiore di una scelta fatta in comune.
    D’altra parte Nash ci prese un Nobel enunciando che in alcuni giochi la soluzine si trova non valutando il proprio punto di equilibrio ma il punto di equilibrio del gruppo.

  2. 2

    Silvano Says

    Interessante. Mi è piaciuta parecchio, anche se forse le premesse rendono il contratto sociale di Rawl più “giacobino” di quanto non sia in realtà. Dando K come dato la soluzione che massimizza il minimo è per definizione un egualitarismo stretto. La scelta dietro al velo di ignoranza dovrebbe avvenire tra n “set” di contratti in cui i livelli minimi e massimi possono differire e queste differenze implicano Kn livelli diversi.
    Però il vantaggio di una esplicitazione matematico statistica è quello di palesare in modo algido una visione sociale in cui il posto di ciascun individuo è determinato più da una sorta di effetto lotteria che non dall’individualità.

  3. 3

    Leonardo IHC Says

    @Vincenzo
    Nash ha dimostrato che in certe condizioni la cooperazione permette risultati superiori, ma appunto “in certe condizioni” cioè dipendentemente da come sono i payoff, non è una conclusione generale. Nel caso del dilemma del prigioniero tra l’altro si tratta di una cooperazione per fregare la legge eh eh

    @Silvano
    Sì, in effetti non ho rimarcato che questa non era tanto la soluzione di Rawls quanto dei suoi più estremi interpreti; ottima la tua seconda osservazione.

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